Рассмотрим число 5 и возведём его в квадрат, получим 25. Возведём 25 в квадрат — получим 625. Возведём 625 в квадрат — получим 390 625. Заметим закономерность: 5² заканчивается на 5, 25² — на 25, 625² — на 625. Будет ли эта закономерность соблюдаться дальше? Возведём 390 625 в квадрат. Совпадает только промежуток от единиц до десятков тысяч. Умножим последние пять знаков (90 625) сами на себя. Результат содержит число целиком. Возведём этот результат в квадрат, и вновь последние цифры повторяются. Теперь это уже 10 знаков. Продолжая возводить в квадрат ту часть ответа, которая совпадает с предыдущим числом, повторяющаяся часть будет расти, напоминая сходимость к какому-то числу, но не в обычном смысле. Это число будет содержать бесконечно много цифр. А его квадрат будет равен самому числу.
p-адические числа: свойства и применение
Числа, у которых цифры уходят в бесконечность влево от запятой, кажутся бессмысленными. Однако, система, к которой они относятся, работает иначе, чем привычная нам. Благодаря этому, они позволяют решать задачи, неразрешимые обычными числами. p-адические числа активно используются в теории чисел, алгебраической геометрии и других областях математики.
p-адические числа: свойства и операции
Рассмотрим свойства числовой системы, содержащей бесконечные числа. Будем называть такие числа p-адическими (в данном случае, 10-адическими), поскольку они записываются в десятичной системе.
Сложение двух 10-адических чисел выполняется путём последовательного сложения цифр справа налево. Умножение аналогично: последний знак результата зависит от последних цифр перемножаемых чисел, и процесс продолжается бесконечно.
Рассмотрим 10-адическое число, оканчивающееся на …857142857143, и умножим его на 7. Результат — ноль. Значит, это 10-адическое число равно 1/7. Таким образом, 10-адические числа содержат рациональные числа — дроби, которым не нужна дробная черта.
Найдём 10-адическое число, равное 1/3. Это бесконечный ряд цифр, которые при умножении на три дают один. Что нужно умножить на 3, чтобы получить 1 в разряде единиц? 7 (3 × 7 = 21). Получаем единицу и два в уме. На что нужно умножить 3, чтобы, прибавив 2, получить 0? 6 (3 × 6 = 18 + 2 = 20). Получаем 0, запоминаем 2. Продолжая, видим, что бесконечные шестёрки на конце равны 1/3. Это похоже на бесконечные десятичные дроби справа от запятой, например, 0,999… = 1.
Докажем это. Пусть 0,999… = k. Умножим обе стороны на 10: 9,999… = 10k. Вычтем первое уравнение из второго: 9 = 9k, следовательно k = 1. А что, если девятки расположены слева от запятой? Пусть это число равно m. Умножаем на 10: 999990 = 10m. Вычитаем: 9 = -9m, то есть m = -1. Это 10-адическое число равно минус единице.
Прибавим один: 9 + 1 = 10. Пишем 0, один в уме. Девять плюс один — десять, один в уме… Получаем только нули. Число равно минус единице. Заменив последнюю цифру на тройку, получим -7. 10-адические числа содержат отрицательные числа, но знак минус у них неявный. Поэтому при вычитании прибавляем число, противоположное вычитаемому. 10-адическое число можно умножить на бесконечный ряд девяток, или записать, насколько каждая цифра исходного числа меньше 9, и прибавить 1. Например, -1/7 — это …1428571428571. Прибавив к 1/7, получим одни нули.
В итоге: 10-адические числа можно складывать, вычитать и перемножать; с их помощью можно записывать дроби и отрицательные числа без специальных обозначений.
Проблема с нулём и решение в p-адических числах
Рассмотрим 10-адическое число, квадрат которого равен самому числу. Уравнение N × (N — 1) = 0 имеет решения 0 и 1, но наше 10-адическое число — не 0 и не 1. Это нарушает полезное свойство нуля: если произведение равно 0, то хотя бы один из множителей равен 0. Это свойство позволяет упрощать уравнения. Но с 10-адическими числами это не работает, так как 10 — составное число.
Перейдём к системе счисления с простым основанием (например, 3). В тройчной системе (0, 1, 2) произведение двух p-адических чисел равно нулю только если один из множителей равен нулю. Это верно для всех простых оснований.
Великая теорема Ферма и p-адические числа
p-адическое число можно представить как бесконечный ряд степеней простого числа. p-адическое целое число, равное минус одному, — это бесконечный ряд двоек. p-адические числа имеют те же свойства, что и 10-адические, но не содержат чисел, квадрат которых равен самому числу (кроме 0 и 1). Поэтому математики используют p-адические числа для решения задач, в том числе Великой теоремы Ферма. В 1637 году Пьер де Ферма сформулировал теорему: xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых числах при n > 2. Доказательство этой теоремы, потребовавшее 358 лет, во многом опиралось на p-адические числа. Эти числа позволяют решать диофантовы уравнения, например, найти три квадрата, сумма площадей которых равна квадрату большего размера, при условии, что площадь первого квадрата равна стороне второго, а площадь второго — стороне третьего. Это уравнение: x² + x⁴ + x⁸ = y². Вещественные решения легко найти, но требуются рациональные. В конце XIX века Курт Гензель предложил метод решения подобных уравнений с помощью разложения по степеням простых чисел. Этот метод основан на модулярной арифметике, где числа обнуляются по достижении определённого значения (модуля). Решение уравнения строится последовательно, сначала по модулю 3, затем по модулю 9, 27 и т.д., что позволяет найти коэффициенты в разложении p-адического числа. Решение задачи Диофанта о квадратах сводится к p-адическому числу, состоящему из одних единиц. Это число равно -1/2. Несмотря на то, что сумма геометрической прогрессии должна была расходиться, она сошлась, что объясняется особенностью p-адической метрики.
Геометрия p-адических чисел
Геометрия p-адических чисел отличается от геометрии вещественных чисел. Их можно представить в виде растущего дерева. p-адическое число представляется бесконечным набором цилиндров, каждый меньше предыдущего. Расстояние между двумя p-адическими числами определяется самым низким разрядом, в котором они различаются. Чем больше разряд, тем менее значим коэффициент. В p-адическом мире большое и малое поменялись местами. Именно поэтому сошлась сумма геометрической прогрессии. Это p-адическое абсолютное значение удовлетворяет аксиомам абсолютного значения: положительная определённость, мультипликативность и неравенство треугольника. В p-адической метрике в окрестности рационального решения меньше p-адических чисел, что облегчает поиск рациональных решений уравнений. Доказательство Великой теоремы Ферма (Уайлс, Тейлор, 1995) во многом опиралось на p-адические числа.
p-адические числа расширяют возможности математики, позволяя решать задачи, неподдающиеся традиционным методам. Несмотря на необычную геометрию, их применение эффективно в разных областях математики, включая доказательство фундаментальных теорем, таких как Великая теорема Ферма.