Древнейшая нерешённая математическая задача, возраст которой составляет 2000 лет, – существование нечётных совершенных чисел. Над ней трудились лучшие математики разных эпох, но решение до сих пор не найдено. Даже проверка всех чисел до 102200 на компьютерах не принесла результата.
Что такое совершенные числа?
Задача формулируется так: существуют ли нечётные совершенные числа? Совершенное число – это число, равное сумме своих собственных делителей (всех делителей, кроме самого числа). Например, число 6: его делители – 1, 2, 3 и 6. Сумма делителей, исключая само число, 1 + 2 + 3 = 6. Таким образом, 6 – совершенное число.
Число 10 не является совершенным: 1 + 2 + 5 = 8 ≠ 10. Среди чисел от 1 до 100 совершенными являются только 6 и 28. До 10 000 найдутся ещё 496 и 8128. Древним грекам были известны только эти четыре числа. Обнаружение закономерности в их последовательности могло бы помочь в поиске новых.
Закономерности совершенных чисел и формула Евклида
Известные совершенные числа обладают некоторыми общими свойствами: они значительно возрастают, все чётные, оканчиваясь попеременно на 6 и 8. Кроме 6, их можно представить как сумму последовательности кубов нечётных чисел:
- 28 = 13 + 33
- 496 = 13 + 33 + 53 + 73
- 8128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153
В двоичной системе записи эти числа представляют собой последовательность единиц, за которой следует ряд нулей, степень двойки. Евклид (около 300 г. до н.э.) нашёл формулу для нахождения чётных совершенных чисел: 2p-1(2p — 1), где 2p — 1 – простое число Мерсенна.
Гипотезы Никомаха и работа Эйлера
Около 100 г. н.э. Никомах Геразский сформулировал пять гипотез о совершенных числах. Позже выяснилось, что первая и третья неверны. В XVIII веке Эйлер, используя сигма-функцию (сумма всех делителей числа), доказал, что любое чётное совершенное число соответствует формуле Евклида, подтвердив тем самым четвёртую гипотезу Никомаха. Он также показал, что любое нечётное совершенное число должно удовлетворять определённым условиям, но доказать или опровергнуть их существование не смог.
В последующие столетия поиск совершенных чисел, преимущественно основанный на поиске простых чисел Мерсенна с помощью всё более мощных компьютеров, привёл к обнаружению 51 совершенного числа – все они чётные.
Нечётные совершенные числа: открытый вопрос
Главный вопрос остаётся открытым: существуют ли нечётные совершенные числа? Современные вычисления показывают, что если такое число существует, то оно должно быть больше 101500. Некоторые косвенные аргументы, основанные на статистике и гипотезе Стафа, указывают на их вероятное отсутствие, но это не является строгим математическим доказательством.
Проблема совершенных чисел – одна из старейших нерешённых задач в математике. Несмотря на отсутствие очевидного практического применения, исследование этой задачи стимулирует развитие новых математических методов и алгоритмов, демонстрируя сложность и глубину даже простых на вид задач. Поиск совершенных чисел – важный вклад в развитие математической науки.