В фундаменте математики существует слабое место, из-за которого мы никогда не сможем знать всё наверняка. Всегда будут истинные утверждения, которые нельзя доказать. Природа этих утверждений неизвестна, но, вероятно, они подобны гипотезе о числах-близнецах.
Гипотеза о числах-близнецах и неразрешимые задачи
Пары простых чисел, разность которых равна 2 (например, 11 и 13, 17 и 19), называются числами-близнецами. С увеличением чисел, частота встречаемости пар-близнецов уменьшается. Гипотеза о числах-близнецах утверждает, что таких пар бесконечно много. Доказательство или опровержение этой гипотезы пока отсутствует, и вероятно, никогда не будет найдено. Это связано с фундаментальным свойством математических систем: в любой системе, допускающей простые арифметические операции, существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать.
Неразрешимость: от «Игры Жизнь» до квантовой физики
«Игра Жизнь», разработанная Джоном Конвеем в 1970 году, представляет собой пример неразрешимой задачи. Игра происходит на бесконечном поле из клеток, каждая из которых может быть «живой» или «мёртвой». Правила игры просты:
- Мёртвая клетка с тремя живыми соседями оживает.
- Живая клетка с менее чем двумя или более чем тремя живыми соседями умирает.
Несмотря на простоту правил, поведение системы может быть невероятно сложным. Невозможно создать алгоритм, который бы предсказывал поведение системы для любой начальной конфигурации за конечное время. Подобная неразрешимость наблюдается во многих системах, включая плитки Wang, квантовую физику и даже карточные игры.
Раскол в математике: интуиционисты и формалисты
Понимание природы неразрешимости требует обращения к событиям 1874 года, когда Георг Кантор опубликовал работу по теории множеств. Множество — это точно определённая совокупность объектов. Кантор исследовал бесконечные множества чисел, например, натуральные и вещественные. Он показал, что бесконечности бывают разных «размеров», используя диагональный метод, доказав, что вещественных чисел на отрезке от нуля до единицы больше, чем натуральных. Это открытие вызвало раскол в математическом сообществе. Интуиционисты, например, Анри Пуанкаре и Леопольд Кронекер, считали теорию множеств ошибочной. Формалисты, во главе с Давидом Гильбертом, верили, что теория множеств обеспечивает строгую логическую основу для математики.
Парадокс Рассела и проблема неполноты
Парадокс Рассела (1901 год) выявил проблему в теории множеств Кантора. Множество, которое содержит все множества, не содержащие себя, приводит к противоречию. Формалисты решили эту проблему, пересмотрев определение множества, но проблема самореференции осталась.
Теоремы Гёделя о неполноте
Гильберт выдвинул три ключевых вопроса о математике: полнота, непротиворечивость и разрешимость. Курт Гёдель (1931 год) доказал теоремы о неполноте, опровергнув гипотезу Гильберта о полноте математики. Гёдель показал, что в любой формальной системе, способной к арифметическим вычислениям, существуют истинные утверждения, которые недоказуемы. Кроме того, он доказал, что непротиворечивая система не может доказать свою собственную непротиворечивость.
Машина Тьюринга и проблема остановки
Алан Тьюринг (1936 год), используя модель машины Тьюринга, показал неразрешимость третьего вопроса Гильберта — о разрешимости математики. Проблема остановки, заключающаяся в невозможности предсказать, завершит ли работа машины Тьюринга своё выполнение или зациклится, аналогична проблеме неразрешимости в математике.
Неразрешимость в физике и полные по Тьюрингу системы
Неразрешимость проявляется и в физических системах. Например, определение наличия или отсутствия спектральной щели в квантовой системе часто является неразрешимой задачей. Большинство современных вычислительных систем являются полными по Тьюрингу, то есть способны выполнять все вычисления, которые может выполнять машина Тьюринга. Однако, любая такая система обладает аналогом проблемы остановки, связанной с неразрешимостью.
Фундаментальное ограничение математики заключается в существовании недоказуемых истинных утверждений. Это обстоятельство, вместо того чтобы подорвать математику, привело к новому пониманию её основ, влияя на различные области науки и техники.