Площадь сферы, равная 4πr², похожа на формулу площади круга, умноженную на 4. Почему? Рассмотрим связь площади поверхности сферы и площади четырёх кругов.
Демонстрация связи площади сферы и площади четырёх кругов
Существуют два способа наглядно продемонстрировать эту связь. Первый — классический метод. Второй — демонстрирует непосредственную связь между сферой и её тенью.
Метод 1: Развертка цилиндра
Площадь поверхности сферы равна площади боковой поверхности цилиндра того же радиуса и высоты (2r). Развернув боковую поверхность цилиндра, получим прямоугольник со сторонами 2πr и 2r, площадью 4πr². Четыре круга радиусом r укладываются на этот прямоугольник.
Метод 2: Проекция на цилиндр
Этот метод основан на аппроксимации площади сферы множеством маленьких прямоугольников. Проецируя эти прямоугольники на цилиндр, площадь проекции каждого прямоугольника совпадает с его собственной площадью. Это объясняется компенсацией увеличения ширины проекции (особенно ближе к полюсам) и уменьшения её высоты из-за наклона прямоугольников к оси Z. Увеличение ширины компенсируется уменьшением высоты. Прямоугольники на сфере пересобираются в цилиндр без оснований, площадь которого равна площади сферы. Чем меньше прямоугольники, тем точнее результат.
Связь с четырьмя кругами
Для лучшего понимания связи с четырьмя кругами, их следует разделить на тонкие концентрические кольца, образующие треугольник с основанием 2πr и высотой r. Четыре таких треугольника идеально укладываются в прямоугольник, представляющий собой развернутую сферу.
Прямая связь сферы и круга: задачи
Прямая связь между сферой и кругом без использования цилиндра сложнее и требует решения задач:
- Чему равна длина окружности выделенного кольца по внутреннему краю, выраженная через r и θ?
- Чему равна площадь тени отдельного кольца на плоскости xy?
- Для каждого кольца на горизонтальной плоскости существует кольцо на сфере, площадь которого в два раза больше. Как его найти?
- Какова связь между тенью от всех колец северного полушария и каждым кольцом на сфере?
- Почему площадь круга равна одной четвёртой площади сферы?
Общее правило для выпуклых фигур
Соотношение 1:4 площади сферы к площади её тени — частный случай общего правила: средняя площадь теней любой выпуклой фигуры, при всех возможных её положениях в трёхмерном пространстве, равна 1/4 площади самой фигуры.