«Начала» Евклида, уступающие по количеству переизданий лишь Библии, 2000 лет служили главным математическим текстом. Однако, одна строчка в этом труде вызывала подозрения и споры. Некоторые математики подозревали Евклида в ошибке, другие же поняли, что он был прав, и что небольшое изменение этой строчки порождает другие вселенные. Без понимания этих «чужих» вселенных невозможно постичь нашу.
Пятый постулат Евклида
Около 300 года до нашей эры Евклид поставил перед собой амбициозную задачу: собрать в одной книге все математические знания человечества. Проблема заключалась в том, что доказательства часто сводились к замкнутому кругу. Например, почему сумма углов треугольника равна 180°? Потому что параллельные прямые… Но как доказать свойства параллельных прямых? Евклид использовал постулаты — утверждения, принимаемые без доказательства. Из них, шаг за шагом, выстраивалась вся математика.
В своих «Началах» Евклид доказал 465 теорем, охватывающих геометрию, теорию чисел и др. Все доказательства опирались на определения, общие понятия и пять постулатов. Первые четыре постулата просты и понятны:
- От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
- Прямую линию можно продолжать бесконечно.
- Имея центр и радиус, можно описать круг.
- Все прямые углы равны между собой.
Пятый же постулат выделяется своей громоздкостью и сложностью:
Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых углов, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Математики сомневались в его истинности, считая, что он должен быть теоремой, доказуемой на основе первых четырех постулатов. Птолемей, Прокл и другие пытались это сделать, но безуспешно.
Попытки доказательства и их результаты
Метод прямого доказательства не сработал. Аль-Хаят, Омар Хайям и другие математики пытались доказать пятый постулат методом от противного: заменяя его противоположным утверждением и ища противоречия.
Если бы через точку, не лежащую на данной прямой, не проходило ни одной параллельной прямой, это противоречило бы второму постулату (прямые можно продолжать бесконечно). Если бы через точку проходило более одной параллельной прямой, метод от противного не привел к противоречиям.
Возникновение неевклидовой геометрии
Примерно в 1820 году семнадцатилетний Янош Бойяи, работая над проблемой пятого постулата, предположил, что он может быть недоказуем, исходя из первых четырех. Он представил мир, где через точку вне данной прямой проходит несколько параллельных прямых. Это возможно лишь на искривлённой поверхности, где «прямыми» являются геодезические – кратчайшие пути между двумя точками. Бойяи понял, что линии ведут себя иначе в гиперболическом пространстве, но математически всё сходилось. В 1823 году он создал новую геометрию, опубликовав свои наработки в качестве приложения к учебнику отца. Независимо от Бойяи неевклидову геометрию создали Гаусс и Лобачевский.
Неевклидова геометрия и её развитие
Существование сферической геометрии, где прямые — дуги больших окружностей, и параллельных прямых не существует, было известно, но ей не уделяли должного внимания из-за несоответствия второму постулату Евклида (невозможность бесконечного продолжения прямых). В 1854 году Риман изменил второй постулат, заменив бесконечное продолжение прямых на неограниченность. Это позволило включить сферическую геометрию (и эллиптическую) в общую систему неевклидовой геометрии.
Значение пятого постулата и роль определений
Евклид ошибался не в пятом постулате, а в своих определениях основных понятий (точка, линия). Определения не нужны, важны отношения между объектами, задаваемые постулатами. Пятый постулат определяет, в каком «игровом мире» геометрии мы работаем: сферическом (нет параллельных прямых), евклидовом (одна параллельная прямая) или гиперболическом (более одной параллельной прямой).
Неевклидова геометрия и общая теория относительности
В 1905 году Эйнштейн сформулировал специальную теорию относительности, основанную на двух постулатах:
- Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
- Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Это привело к необходимости пересмотра представлений о пространстве и времени. В 1907 году Эйнштейн понял, что гравитация не является силой, а следствием искривления пространства-времени под действием массивных объектов. Движение тел происходит по кратчайшим путям (геодезическим) в этом искривленном пространстве. Общая теория относительности Эйнштейна, основанная на неевклидовой геометрии Римана, успешно объясняет многие явления, подтверждая свои предсказания наблюдениями, такими как искривление света гравитационными полями и гравитационные волны.
Форма Вселенной
Для определения формы Вселенной необходимо измерить углы треугольников вселенских масштабов, используя реликтовое излучение. Измерения указывают на то, что Вселенная плоская (с точностью до погрешности измерений).
Путь к пониманию неевклидовой геометрии и её роли в общей теории относительности начался с 2000-летних споров вокруг пятого постулата Евклида. Оказалось, что сам постулат верен, но важность имеет не столько его формулировка, сколько понимание основных понятий геометрии и возможности существования различных геометрических моделей, которые оказались основополагающими для описания Вселенной.